三角形
基本性质
内角和 = 180°
外角 = 不相邻两内角之和
任意两边之和 > 第三边
任意两边之差 < 第三边
分类：锐角 / 直角 / 钝角
重要线段：中线 · 角平分线 · 高
全等三角形
对应边相等 · 对应角相等
SSS（边边边）
SAS（边角边）
ASA（角边角）
AAS（角角边）
HL（仅限直角三角形）
尺规作图
实际应用
测量距离
面积 S = ½ × 底 × 高
核心公式与定理
- 内角和：
∠A + ∠B + ∠C = 180° - 外角定理：
外角 = 不相邻两内角之和 - 面积公式：
S = ½ × 底 × 高 - 全等口诀：SSS · SAS · ASA · AAS · HL
轴对称
轴对称性质
对应点连线被对称轴垂直平分
对应边相等
对应角相等
垂直平分线上的点到两端距离相等
等腰三角形
等边对等角
等角对等边（判定等腰）
三线合一：顶角平分线 = 底边中线 = 底边上的高
等边三角形：三个角 = 60°
30°直角△：短边 = 斜边 ÷ 2
角平分线
角平分线上的点到两边距离相等
逆定理：到两边距离相等的点在角平分线上
核心定理
- 对应点连线被对称轴垂直平分
- 垂直平分线 → 到两端距离相等
- 角平分线 → 到两边距离相等
- 等腰△：
等边对等角/等角对等边/三线合一 - 30°直角△：30°所对直角边 = 斜边的一半
勾股定理
定理本身
a² + b² = c²（c 为斜边）
已知两直角边 → 求斜边
已知斜边和一直角边 → 求另一直角边
逆定理
若 a² + b² = c² → 直角三角形
勾股数：满足条件的正整数解
常见：3,4,5 / 5,12,13 / 8,15,17
勾股数倍数仍为勾股数
应用
坐标系中求两点距离
面积法求高
长方体对角线 d = √(a²+b²+c²)
折叠问题中的长度计算
核心公式
- 勾股定理：
a² + b² = c²（直角△，c 为斜边） - 逆定理：
a² + b² = c²→ 直角三角形 - 长方体体对角线：
d = √(a² + b² + c²) - 常用勾股数：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25
实数
有理数
整数（正整数 · 零 · 负整数）
分数
有限小数 · 循环小数
无理数
无限不循环小数
√2, √3, √5, π …
非完全平方数的平方根
平方根
算术平方根 √a（a ≥ 0, √a ≥ 0）
平方根 ±√a（a > 0 有两个）
a = 0 → √a = 0；a < 0 → 无意义
立方根
∛a：任何实数都有立方根
∛(-a) = -∛a
运算律
√a × √b = √(ab)
√a ÷ √b = √(a/b)（b ≠ 0）
(√a)² = a（a ≥ 0）
√(a²) = |a|
核心概念
√a：a ≥ 0，√a ≥ 0（算术平方根非负）±√a：a > 0 有两个，a = 0 有一个，a < 0 没有∛a：任何实数都有立方根（正数正、负数负、零为零）- 关键公式：
√(a²) = |a|— 注意绝对值不可省略
平面直角坐标系
基本概念
x 轴：水平方向（y = 0）
y 轴：铅直方向（x = 0）
原点：(0, 0)
点 → 有序数对 (x, y)
象限符号
第一象限 (+, +)
第二象限 (-, +)
第三象限 (-, -)
第四象限 (+, -)
对称变换
关于 x 轴：(a, b) → (a, -b)
关于 y 轴：(a, b) → (-a, b)
关于原点：(a, b) → (-a, -b)
距离与中点
两点距离 d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
中点坐标 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
核心规律
- 关于 x 轴对称：
(a, b) → (a, -b)— 纵坐标变号 - 关于 y 轴对称：
(a, b) → (-a, b)— 横坐标变号 - 关于原点对称：
(a, b) → (-a, -b)— 都变号 - 两点距离：
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] - 中点公式：
((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
一次函数
定义
y = kx + b（k ≠ 0）
正比例函数 y = kx（b = 0）
k：斜率（变化率）
b：截距（与 y 轴交点）
图象性质
k > 0：y 随 x 增大而增大 ↗
k < 0：y 随 x 增大而减小 ↘
b > 0：与 y 轴交于上方
b < 0：与 y 轴交于下方
与 x 轴交点：(-b/k, 0)
与 y 轴交点：(0, b)
平行与交点
平行：k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂
交点：联立两方程求解
重合：k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂
应用
待定系数法求解析式
实际问题建模
分段函数
核心公式
- 一次函数：
y = kx + b（k ≠ 0） - 正比例函数：
y = kx（k ≠ 0，b = 0） - 斜率公式：
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) - 两直线平行：
k₁ = k₂且b₁ ≠ b₂ - 待定系数法：已知两点 → 列方程组求 k、b
第一章
三角形
全等判定
第二章
轴对称
直角△·面积
第三章
勾股定理
第四章
实数
√2 · 开方
第五章
位置与坐标
Δy/Δx
第六章
一次函数
第一章 → 第二章：全等三角形是证明等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）的基础工具
第一章 → 第三章：直角三角形是勾股定理的前提条件，三角形面积法是推导工具
第三章 → 第四章：√2 等无理数通过勾股定理产生（边长为 1 的正方形对角线），推动数系扩充
第三章 → 第五章：坐标系中两点距离公式 d = √[(Δx)²+(Δy)²] 本质是勾股定理
第五章 → 第六章：斜率公式 k = Δy/Δx 来自坐标运算，函数图象在坐标系中绘制
第四章 → 第六章：一次函数图象是一条直线，涉及实数的连续性，k 和 b 取值覆盖全体实数